Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2）
（1）求证{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项；
（2）已知b_n=log₂（a_n+1），c_n=a_n•b_n，求数列|c_n|的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=2a_n-1+1变形可知a_n+1=2（a_n-1+1），进而数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ-n，利用错位相减法计算即得数列{n•2ⁿ}的前n项和为Q_n，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项a_n=2ⁿ-1；
（2）解：由（1）可知b_n=log₂（a_n+1）=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，
c_n=a_n•b_n=（2ⁿ-1）•n=n•2ⁿ-n，
记数列{n•2ⁿ}的前n项和为Q_n，
则Q_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$Q_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
两式相减得：-$\frac{1}{2}$Q_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1+（1-n）•2ⁿ，
∴Q_n=-2•[-1+（1-n）•2ⁿ]=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=Q_n-$\frac{n（n+1）}{2}$=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．