Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．则$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小值为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过设T（-3，t），易知|FT|=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，对t的值进行讨论：当t=0时易知$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；当t≠0时可知直线PQ的方程y=$\frac{1}{t}$（x+2），与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、完全平方公式可知|PQ|=$2\sqrt{6}$•$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}+3}$，化简可知$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•（$\sqrt{{t}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$），利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：如图，A（-3，0）、F（-2，0），设T（-3，t），
则|AF|=|-2+3|=1，|AT|=t，
∴|FT|=$\sqrt{|AT{|}^{2}+|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
下面对t的值进行讨论：
①当t=0时，|FT|=1，
此时PQ与x轴垂直，易知P（-2，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）、Q（-2，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{1}{2•\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
②当t≠0时，此时直线TF的斜率为-t，
∴直线PQ的斜率为$\frac{1}{t}$，
∴直线PQ的方程为：y=$\frac{1}{t}$（x+2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{t}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（t²+3）x²+12x+12-6t²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{12}{{t}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{-6{t}^{2}+12}{{t}^{2}+3}$，
∴|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•[（-\frac{12}{{t}^{2}+3}）^{2}-4•\frac{-6{t}^{2}+12}{{t}^{2}+3}]}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•\frac{24{t}^{2}（{t}^{2}+1）}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$
=$2\sqrt{6}$•$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}+3}$，
∴$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{\frac{2\sqrt{6}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+3}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•$\frac{{t}^{2}+3}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•$\frac{{t}^{2}+1+2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•（$\sqrt{{t}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$）
≥$\frac{\sqrt{6}}{12}$•2$\sqrt{\sqrt{{t}^{2}+1}•\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$（当且仅当$\sqrt{{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$即t=±1时取等号）
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
综上所述，$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．