Question

3．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；
（3）若当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]时，f（x）的反函数为f^-1（x），求f^--1（1）的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、三角函数的周期性即可得出．
（2）利用三角函数的单调性最值即可得出；
（3）利用互为反函数的性质即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=π
（2）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{5π}{12}$（k∈Z）时，f（x）取得最小值-2．
（3）令2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，又x∈[$\frac{π}{2}，\frac{7π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
则x=$\frac{π}{4}$，故f^--1（1）=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了和差公式、三角函数的周期性、三角函数的单调性最值、互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．