题目内容

(本小题满分15分)已知点,一动圆过点且与圆内切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)设点,点为曲线上任一点,求点到点距离的最大值
(Ⅲ)在的条件下,设△的面积为是坐标原点,是曲线上横坐标为的点),以为边长的正方形的面积为.若正数满足,问是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)存在最小值
解:(Ⅰ)设圆心坐标为,则动圆的半径为
又动圆与内切,所以有化简得
所以动圆圆心轨迹C的方程为. ………………………………4分
(Ⅱ)设,则
,令,所以,
,即上是减函数,
,即时,上是增函数,在上是减函数,则
,即时,上是增函数,
所以, .…………………………………………9分
(Ⅲ)当时,,于是,,
若正数满足条件,则,即
,令,设,则
于是
所以,当,即时,
.所以,存在最小值.………………………………14分
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