题目内容
(本小题满分15分)已知点,一动圆过点且与圆内切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)设点,点为曲线上任一点,求点到点距离的最大值;
(Ⅲ)在的条件下,设△的面积为(是坐标原点,是曲线上横坐标为的点),以为边长的正方形的面积为.若正数满足,问是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)设点,点为曲线上任一点,求点到点距离的最大值;
(Ⅲ)在的条件下,设△的面积为(是坐标原点,是曲线上横坐标为的点),以为边长的正方形的面积为.若正数满足,问是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)存在最小值
解:(Ⅰ)设圆心坐标为,则动圆的半径为,
又动圆与内切,所以有化简得
所以动圆圆心轨迹C的方程为. ………………………………4分
(Ⅱ)设,则
,令,,所以,
当,即时在上是减函数,;
当,即时,在上是增函数,在上是减函数,则;
当,即时,在上是增函数,.
所以, .…………………………………………9分
(Ⅲ)当时,,于是,,
若正数满足条件,则,即,
,令,设,则,,
于是,
所以,当,即时,,
即,.所以,存在最小值.………………………………14分
又动圆与内切,所以有化简得
所以动圆圆心轨迹C的方程为. ………………………………4分
(Ⅱ)设,则
,令,,所以,
当,即时在上是减函数,;
当,即时,在上是增函数,在上是减函数,则;
当,即时,在上是增函数,.
所以, .…………………………………………9分
(Ⅲ)当时,,于是,,
若正数满足条件,则,即,
,令,设,则,,
于是,
所以,当,即时,,
即,.所以,存在最小值.………………………………14分
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