Question

(本小题满分15分)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.(1)求曲线C的方程；(2)求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

(1) ＋＝1.
(2)△OPQ的面积最大值为.

(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
∵＝，∴∴a＝x，b＝y.
又|AB|＝＝8，∴＋＝1.
∴曲线C的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，
设直线PM方程为x＝my＋4，由消去x得
(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，
∴|yP－yQ|＝
＝.   ∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×
＝＝＝≤＝，
当＝，
即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.