题目内容
【题目】已知函数,实数
.
(1)讨论函数在区间
上的单调性;
(2)若存在,使得关于x的不等式
成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)采用分类讨论的方法,与
,根据导数判断原函数的单调性,可得结果.
(2)化简式子,并构造函数,计算
,然后再次构造函数
,利用导数判断
的单调情况,可得结果.
(1)由题知的定义域为
,
.
∵,
,∴由
可得
.
(i)当时,
,当
时,
单递减;
(ii)当时,
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
综上所述,时,
在区间
上单调递减;
当时,
在区间
上单调递减,
在区间上单调递增.
(2)由题意:不等式在
成立
即在
时有解.
设,
,只需
.
则,因为
,
所以在上,
,
在上,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
因此.
不等式在
成立,
则恒成立.
又,所以
恒成立.
令,则
.
在上,
,
单调递增;
在上,
,
单调递减.
所以.
因此解可得
且
,
即且
.
所以实数a的取值范围是.
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练习册系列答案
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【题目】某省开展“精准脱贫,携手同行”的主题活动,某贫困县统计了100名基层干部走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,统计结果见下表.
走访数量区间 | 频数 | 频率 |
b | ||
10 | ||
38 | ||
a | 0.27 | |
9 | ||
总计 | 100 | 1.00 |
(1)求a与b的值;
(2)根据表中数据,估计这100名基层干部走访数量的中位数(精确到个位);
(3)如果把走访贫困户不少于35户视为“工作出色”,按照分层抽样,从“工作出色”的基层干部中抽取4人,再从这4人中随机抽取2人,求其中有1人走访贫困户不少于45户的概率.