题目内容

【题目】已知二面角PABC的大小为120°,且∠PAB=∠ABC90°,ABAPAB+BC6.若点PABC都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为(

A.45πB.C.D.

【答案】B

【解析】

ABx,(0x6),则,由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心EH,且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点OOB为三棱锥外接球半径,取AB的中点为G,推导出△EGH的外接圆直径,从而,当x时,OB2的最小值为,由此能求出该球的表面积的最小值.

ABx,(0x6),则

由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心EH

且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O

OB为三棱锥外接球半径,取AB的中点为G,如图,

由条件知

在△EGH中,由余弦定理可得

∴△EGH的外接圆直径

时,OB2的最小值为

∴该球的表面积的最小值为.

故选:B

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