题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,对于给定实数
,总存在实数
,使得关于
的方程
恰有3个不同的实数根.
(i)求实数的取值范围;
(ii)记,求证:
.
【答案】(1)单调递减区间是,
;(2)(i)
;(ii)证明见详解.
【解析】
(1)当,
,当
时,可知
,此时
无单调递减区间;当
时,令
,可得
,再根据
为偶函数,即可求出函数
的单调递减区间;
(2)(i),令
,则
,令
,利用导数可得
;再分别对
和
,两种情况分类讨论,根据函数的单调性和奇偶性以及对称性进行分析,即可求出结果;
(ii)由的四个根为
,
,
,
,不妨设
,由于
为偶函数,则
,
化简整理可得
,令
,
,令
,根据导数在函数单调性和最值的应用,即可求证结果.
(1)当,
,当
,
;当
,
,∴
.
又为偶函数,∴当
时,
的单调递减区间是
,
,
当时,
无单调递减区间.
(2)(i)
,令
,
则,
令,
,
∴在
递减,
递增,
递减,
递增.
.
①当时,可得
,此时
,所以
在
递减,在
递增,则
至多2个零点,不符合题意.
②当,则
有4个不同实根,即
时,
有2个不同实根,此时
.
其中,
(极大),
,设
的4个实根为
,则
极大,
极小,
极大,
极小,由于
为奇函数,所以极值关于原点对称,
,
,∴
,当
时
有3个零点.
(ii)由的四个根为
,
,
,
,不妨设
,由于
为偶函数,则
,
,
∴,
令,
,
令,
,所以
单调递增,
,所以
,
单调递增,则
,
所以,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【题目】某区在2019年教师招聘考试中,参加、
、
、
四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下:
岗位 | 男性应聘人数 | 男性录用人数 | 男性录用比例 | 女性应聘人数 | 女性录用人数 | 女性录用比例 |
269 | 167 | 62% | 40 | 24 | 60% | |
217 | 69 | 32% | 386 | 121 | 31% | |
44 | 26 | 59% | 38 | 22 | 58% | |
3 | 2 | 67% | 3 | 2 | 67% | |
总计 | 533 | 264 | 50% | 467 | 169 | 36% |
(1)从表中所有应聘人员中随机抽取1人,试估计此人被录用的概率;
(2)将应聘岗位的男性教师记为
,女性教师记为
,现从应聘
岗位的6人中随机抽取2人.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人性别不同”,求事件
发生的概率.