题目内容
【题目】设椭圆
（
）的左右焦点分别为
，椭圆的上顶点为点
，点
为椭圆
上一点，且
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若
，过点
的直线交椭圆于
两点，求线段
的中点
的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
利用向量的坐标表示及运算表示出点
坐标,代入椭圆
的方程即可求解;
由知
,结合
求出椭圆的方程，分两种情况线段
在
轴上和线段不在轴上求解点
，当线段不在轴上, 设直线的方程为
，
，
，代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式,消去参数
即可.
（1） 设（
），
，
，
所以
，
得
，即
，
又∵（）在椭圆
上，
∴
，得
，即椭圆的离心率为.
（2） 由（1）知，.又∵，
，
解得
，
，∴椭圆的方程为
.
当线段在轴上时，线段的中点为坐标原点（0，0）.
当线段不在轴上时，设直线的方程为，，，
将直线的方程为代入椭圆方程中，得
.
∵点
在椭圆内部，∴
，
，则
，
∴点
的坐标满足
，
，消去得，（
）.
综上所述，点的轨迹方程为.
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（1）完成下列
列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数
的分布列及数学期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
