Question

已知抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦点重合，抛物线C₁的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₁分别相交于A、B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）若|AB|=4

10

，求直线l的方程．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）∵抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

x2

6

+

y2

5

=1的右焦点重合，
∴抛物线C₁的焦点坐标为F（1，0），
∵抛物线C₁的顶点在坐标原点，
∴抛物线C₁的方程为：y²=4x．…（6分）
（2）若直线AB的斜率不存在时，|AB|=8，不合题意，故直线AB的斜率存在．
由题意可设直线AB的方程为：y=k（x-4）（k≠0）．
联立

y=k(x-4) y2=4x

，消去x，得ky²-4y-16k=0，

∴△=16+64k²＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16，
∴|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|
=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

( 4 k )2+64

由|AB|=4

10

，得k²=1，
∴k=±1，
∴直线l的方程为：x-y-4=0或x+y-4=0．…（14分）