题目内容
【题目】设函数,函数
为
的导函数.
(1)若,都有
成立(其中
),求
的值;
(2)证明:当时,
;
(3)设当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)求导,利用对应项系数相等求即可即可
(2)证明等价证明
,构造函数求最值即可证明
(3)讨论,
恒成立,转化为证明
,构造函数
,求导求最值,证明当
时不成立,当
时,利用(2)放缩证明h(x)在区间
上是单调递减函数即可求解,当
时,构造函数,证明不成立即可求解
(1),则
因为,
即
恒成立(其中
),
则,
,即
,且
(2)当时,要证
即证
,
令,则
,
当时,
,即
在区间
上是单调递增函数,
当时,
,即
在区间
上是单调递减函数,
则当时,
,即当
时,
,也即
,
所以当时,
(3)当,本题无意义,
显然不成立,
所以不合题意,
当时,
等价于
,
由题设,此时有
,
当时,若
,则有
,此时
不成立,
即不成立,所以
不合题意,
当时,令
,
则等价于
,即当且仅当
,
,
又由(1)得,即
,代入上式得:
,
①当时,由(2)知
,即
,
则
,此时函数h(x)在区间
上是单调递减函数,
则,即
恒成立,此时符合题意,
②当时,令
,则
,
又,则
,即函数
在区间
上是单调递增函数,
即,也即
,
则
当时,有
,即函数
在区间
上是单调递增函数,
所以,即
,所以
不合题意,
综上可得,所求实数a的取值范围为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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