Question

15．已知四个数排成一列，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且首末两数之和为22，中间两数之和为20，求这四个数．

Answer 1

分析 由题意设这四个数分别为$\frac{2x}{q}$-x，$\frac{x}{q}$，x，xq，由题意可得x和q的方程组，解方程组可得这四个数．

解答 解：由题意设这四个数分别为$\frac{2x}{q}$-x，$\frac{x}{q}$，x，xq，
则$\frac{2x}{q}$-x+xq=22，①$\frac{x}{q}$+x=20，②
由②可得x=$\frac{20q}{q+1}$，
代入①整理可得10q²-21q+9=0，
解得q=$\frac{3}{2}$或q=$\frac{3}{5}$，
当q=$\frac{3}{2}$时，x=$\frac{20q}{q+1}$=12，这四个数为：4，8，12，18；
当q=$\frac{3}{5}$时，x=$\frac{20q}{q+1}$=$\frac{15}{2}$，这四个数为：$\frac{35}{2}$，$\frac{25}{2}$，$\frac{15}{2}$，$\frac{9}{2}$；
综上可得这四个数为：4，8，12，18；或$\frac{35}{2}$，$\frac{25}{2}$，$\frac{15}{2}$，$\frac{9}{2}$；

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，利用技巧设置未知量是解决问题的关键，属中档题．