题目内容

10.已知{an}是等比数列,下列命题中不正确的是(  )
A.若an>0,(n∈N*),则{lgan}是等差数列
B.若an>0,(n∈N*),则$\frac{{a}_{1}+{a}_{n+2}}{2}$≥$\sqrt{{a}_{2}{a}_{n+1}}$
C.an+1一定是an与an+2的等比中项
D.an-r与an+r(r<n,r,n∈N*)的等比中项一定是an

分析 由等比数列的性质和等比中项,结合基本不等式逐个选项验证可得.

解答 解:选项A正确,lgan+1-lgan=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lgq为与n无关的常数,故{lgan}是等差数列;
选项B正确,由基本不等式可得$\frac{{a}_{1}+{a}_{n+2}}{2}$≥$\sqrt{{a}_{1}{a}_{n+2}}$,由等比数列的性质可得$\sqrt{{a}_{1}{a}_{n+2}}$=$\sqrt{{a}_{2}{a}_{n+1}}$,故$\frac{{a}_{1}+{a}_{n+2}}{2}$≥$\sqrt{{a}_{2}{a}_{n+1}}$;
选项C正确,由等比数列的性质可得an+12=anan+2,即an+1一定是an与an+2的等比中项;
选项D错误,(±an2=an-ran+r,故an-r与an+r(r<n,r,n∈N*)的等比中项可能为-an
故选:D.

点评 本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的性质和等比基本不等式,属基础题.

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