Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，且对任意实数x，不等式|x$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，则|$\overrightarrow{b}$|的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得x²+2|$\overrightarrow{b}$|x+（|3${\overrightarrow{b}}^{2}$-|$\overrightarrow{b}$|-1）≥0恒成立，根据△≤0，求得|$\overrightarrow{b}$|的范围．

解答 解：由题意可得x²•${\overrightarrow{a}}^{2}$+4x•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$ 恒成立，
化简可得x²+2|$\overrightarrow{b}$|x+（|3${\overrightarrow{b}}^{2}$-|$\overrightarrow{b}$|-1）≥0恒成立，∴△=4${|\overrightarrow{b}|}^{2}$-4（|3${\overrightarrow{b}}^{2}$-|$\overrightarrow{b}$|-1）≤0．
化简可得（2|$\overrightarrow{b}$|+1）（|$\overrightarrow{b}$|-1）≥0，求得|$\overrightarrow{b}$|≥1，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题．