题目内容
13.已知函数f(x)=2sin(2ωx+$\frac{π}{4}$)(ω>0)的最小正周期为π,(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的单调性.
分析 (1)由条件利用y=Asin(ωx+φ )的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$,求得ω的值.
(2)由条件利用正弦函数的单调性求得f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的单调性.
解答 解:(1)由于函数f(x)=2sin(ωx+$\frac{π}{4}$)(ω>0)的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π,∴ω=1.
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{4}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$,
故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$,kπ+$\frac{π}{8}$],k∈z.
结合x∈[0,$\frac{π}{2}$],可得函数f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的增区间为[0,$\frac{π}{8}$].
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$,
故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{5π}{8}$],k∈z.
结合x∈[0,$\frac{π}{2}$],可得函数f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的减区间为[$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{2}$].
点评 本题主要考查正弦函数的周期性,利用了y=Asin(ωx+)的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$,还考查了正弦函数的单调性,属于基础题.
练习册系列答案
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