Question

16．已知函数y=f（x）是定义域为R的奇函数．当x≥0时f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，0≤x≤1}\\{f（x-1）+1，x＞1}\end{array}}\right.$．若恰有5个不同的实数x₁，x₂，…，x₅，使得f（x）=mx成立，则实数m的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． 2$\sqrt{2}$-2
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． 3-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知中恰有5个不同的实数x₁，x₂，…，x₅，使得f（x）=mx成立，可得f（x）=mx有且仅有两个正根，则m＞0，且y=mx的图象，与y=f（x），x∈[1，2]的图象相切，进而可得答案．

解答 解：∵函数y=f（x）是定义域为R的奇函数．x≥0时f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，0≤x≤1}\\{f（x-1）+1，x＞1}\end{array}}\right.$．
∴f（0）=0，
若恰有5个不同的实数x₁，x₂，…，x₅，使得f（x）=mx成立，
则f（x）=mx有且仅有两个正根，
则m＞0，
且y=mx的图象，与y=f（x），x∈[1，2]的图象相切，
由y=f（x）=（x-1）²+1，x∈[1，2]，
故mx=（x-1）²+1有且只有一个解，
即x²-（m+2）x+2=0的△=0，
解得：m=2$\sqrt{2}$-2，或m=-2$\sqrt{2}$-2（舍去），
故m=2$\sqrt{2}$-2，
故选：B

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中结合函数奇偶性的函数特征，分析出f（x）=mx有且仅有两个正根，是解答的关键．