在空间四边形ABCD中.已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证:AB⊥CD. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在空间四边形ABCD中，已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证：AB⊥CD.

见解析

【解析】过A点作AO垂直平面BCD于O，连结BO,CO,DO.

∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD.

又AC⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴CO⊥BD.

同理，DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴BO⊥CD.

又AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD，

∴CD⊥平面ABO，∴AB⊥CD.

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已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b＝________．

在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．

图①

图②

(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；

(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；

(3)求证：AD⊥B′E.

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，G、H分别为DC、BC的中点．

(1)求证：平面FGH∥平面BDE；

(2)求证：平面ACF⊥平面BDE.

如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、

SC的中点．求证：

(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.

已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；

④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．

已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1.

(图①)

(图②)

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D.

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a100·＋a101，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝________．

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