题目内容
【题目】如图所示，矩形
中，
，
平面
，
，
为
上的点，且
平面
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面与平面
所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）由
面
，可得
，所以
，由
面
，可得
.
由线面垂直的判定定理可得
平面
；（2）以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，过且垂直于平面的直线为
轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面
的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得平面与平面所成角的余弦值.
试题解析：（1）因为面，所以，
又
，所以.
因为面，所以.
又
，所以面
，即平面.
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为
，
，
，
，
设平面的法向量
，平面的法向量为
，易知
，
令
，则
，故
，令
，得
，
，
于是，
.
此即平面与平面所成角的余弦值.
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