题目内容
【题目】如图所示,矩形中,
,
平面
,
,
为
上的点,且
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由面
,可得
,所以
,由
面
,可得
.
由线面垂直的判定定理可得平面
;(2)以
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且垂直于平面
的直线为
轴建立空间直角坐标系,分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得平面
与平面
所成角的余弦值.
试题解析:(1)因为面
,所以
,
又,所以
.
因为面
,所以
.
又,所以
面
,即
平面
.
(2)以为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且垂直于平面
的直线为
轴建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为
,
,
,
,
设平面的法向量
,平面
的法向量为
,易知
,
令,则
,故
,令
,得
,
,
于是,
.
此即平面与平面
所成角的余弦值.
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