题目内容
【题目】如图,四棱锥中,侧棱
垂直于底面
,
,
,
为
的中点,
平行于
,
平行于面
,
.
(1)求的长;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
、
,由三角形中位线定理,以及线面平行的判定定理可得
平行于
,
平行于
,于是可得
为平行四边形,所以
,
;(2)取
中点
,则
垂直于
,以
点为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,平面
法向量为
,利用向量垂直数量积为零,列方程组求得
平面法向量为
,平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(1)取的中点
,连接
、
,
因为平行于
,
平行于
,所以
平行于
,
所以四点共面,
因为平行于面
,面
与面
交与
,所以
平行于
,
所以为平行四边形.
所以,
.
(2取中点
,则
垂直于
,因为
平行于
,所以
垂直于
,于是以
点为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,
由垂直于
,
垂直于
,平面
法向量为
,
通过计算得平面的法向量为
.经判断知二面角为钝角,于是其余弦为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判断与性质、利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
测试1 | 测试2 | 测试3 | 测试4 | 测试5 | 测试6 | 测试7 | 测试8 | 测试9 | 测试10 | 测试11 | 测试12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记
(Ⅰ)求数据的众数;
(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.