题目内容
【题目】已知函数(为常数).
(1)求函数在的最小值;
(2)设是函数的两个零点,且,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析函数单调性,根据单调性确定最小值取法,最后代入求最小值,(2)作差函数,利用零点条件化为一元函数,根据导数研究一元函数单调性,确定其最大值小于零,最后根据原函数单调性证得不等式.
试题解析:(1),的定义域为,且,∴
当时,,所以在递增;
当时,,所以在递减,
且,,因,
函数在的最小值为.
由(1)知满足,且,,
,由题意可知
又由(1)可知在递减,故,所以,,
则
令,
则 ,
当时,是减函数,所以
因 ,
即,所以当时,,即
因为,,在上单调递增,所以,故.