题目内容
【题目】已知函数(
为常数).
(1)求函数在
的最小值;
(2)设是函数
的两个零点,且
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析函数单调性,根据单调性确定最小值取法,最后代入求最小值,(2)作差函数,利用零点条件化为一元函数
,根据导数研究一元函数单调性,确定其最大值小于零,最后根据原函数单调性证得不等式.
试题解析:(1),
的定义域为
,且
,∴
当时,
,所以
在
递增;
当时,
,所以
在
递减,
且,
,因
,
函数在
的最小值为
.
由(1)知满足
,且
,
,
,由题意可知
又由(1)可知在
递减,故
,所以
,
,
则
令,
则
,
当时,
是减函数,所以
因
,
即,所以当
时,
,即
因为,
,
在
上单调递增,所以
,故
.
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