Question

【题目】如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱（不包括端点）上一动点，是的中点．

（Ⅰ）若，求的长；

（Ⅱ）当在棱（不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）BD=1；（Ⅱ）（，].

【解析】【试题分析】(I)由得到平面,所以,由于,所以平面,所以,由此得到为的中点,所以.(I)以为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来求得它们夹角的余弦值的取值范围.

【试题解析】

证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，

又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1

而AD平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，

所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1．

（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，

过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，设BD=t，

则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2），

=（2，0，t），=（1，，2），设平面ADC1的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得，

平面ABC的法向量=（0，01），设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ，

∴cosθ====

由于t∈（0,2）,故cosθ∈（，]．

即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，]．