题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,
且
,
是棱
上的动点,
是
的中点.
(1)当是
中点时,求证:
平面
;
(2)在棱上是否存在点
,使得平面
与平面
所成锐二面角为
,若存在,求
的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】【试题分析】(1)取中点
,连结
,利用三角形中位线证得四边形
为平行四边形,由此证得线面平行.(2)假设存在这样的点
,以
点为原点建立空间直角坐标系,利用平面
和平面
的法向量,结合它们所成锐二面角的余弦值,可求得这个点的坐标.
【试题解析】
(1)取中点
,连结
,则
∥
且
.
因为当为
中点时,
∥
且
,
所以∥
且
.
所以四边形为平行四边形,
∥
,
又因为,
,
所以平面
;
(2)假设存在满足条件的点,设
.
以为原点,向量
方向为
轴、
轴、
轴正方向,建立空间直角坐标系.
则,
,
,平面
的法向量
,
平面的法向量
,
,
解得,所以存在满足条件的点
,此时
.
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