题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3-
x2+cx+d有极值.
(1)求实数c的取值范围;
(2)若f(x)在x=2处取得极值,且当x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,求实数d的取值范围.
【答案】(1);(2)(-∞,-7)∪(1,+∞).
【解析】
(1)求出导函数的解析式,然后根据函数有极值,方程
有两个实数解,构造关于
的不等式,解不等式即可得到
的取值范围;(2)若
在
处取得极值,则
,求出满足条件的
值后,可以分析出函数的
单调性,进而分析出当
时,函数的最大值,又由当
时,
恒成立,可以构造出一个关于
的不等式,解不等式即可得到
的取值范围.
(1)∵f(x)=x3-
x2+cx+d,∴f′(x)=x2-x+c,
要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2-x+c=0有两个不相等的实数解,
从而Δ=1-4c>0,∴c<, 即实数c的取值范围为
.
(2)∵f(x)在x=2处取得极值,
∴f′(2)=4-2+c=0,∴c=-2,∴f(x)=x3-
x2-2x+d.
∵f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),
∴当x∈(-∞,-1]时,f′(x)>0,函数单调递增;
当x∈(-1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减.
∴x<0时,f(x)在x=-1处取得最大值+d,
∵x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,∴
+d<
d2+2d,即(d+7)(d-1)>0,∴d<-7或d>1,
即实数d的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞).

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