Question

【题目】如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.

求证:（1）MN∥平面PAD;

（2）平面QMN∥平面PAD.

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【解析】

(1)如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,

设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),，求出，因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),， 所以·m=0,即⊥m.，利用直线与平面平行的判定定理，可证MN∥平面PAD.

(2)=(0,-d,0),⊥m,，又QN不在平面PAD内,又QN∥平面PAD.，即可得证.

(1) 证明:如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,

设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),

因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,

所以M,N,Q,

所以.

因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),

所以·m=0,即⊥m.

因为MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD.

(2)=(0,-d,0),⊥m,

又QN不在平面PAD内,又QN∥平面PAD.

又因为MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD