Question

在数列{a_n}中，a₁＝1，{a_n}的前n项和S_n满足2S_n＝a_n＋1.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若存在n∈N^*，使得λ≤，求实数λ的最大值．

Answer 1

(1) a_n＝ (2) 3

(1)由题意，当n≥2时，2S_n－1＝a_n,2S_n＝a_n＋1，
两式相减得2a_n＝a_n＋1－a_n，
即a_n＋1＝3a_n，又a₂＝2a₁＝2，
可见数列{a_n}从第二项起成公比为3的等比数列．
所以当n≥2时，a_n＝a₂·3^n－2＝2·3^n－2，
故a_n＝
(2)令b_n＝，当n≥2时，b_n＝
当n≥2时，b_n＋1－b_n＝－＝＝
<0.
所以当n≥2时，b_n＋1<b_n
所以，数列{b_n}从第二项起的各项成单调递减数列
而b₂＝＝3，b₁＝＝2，
由题意，λ≤_max＝max{2,3}＝3.
所求实数λ的最大值是3.