题目内容
【题目】如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,点E,F分别为AD,BP的中点,AD=3,AP=3,PC
.
(1)求证:EF//平面PDC;
(2)若∠CDP=120°,求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点为
,连结
,
,四边形
是平行四边形,
,
平面
.
(2)由余弦定理求出,以
为原点,在平面
内过
作
的垂线为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的平面角的余弦值.
解:(1)证明:取的中点为
,连结
,
,
,
分别为
、
的中点,
,且
,
又四边形为平行四边形,
,且
,
,且
,
四边形
是平行四边形,
,
平面
,
平面
,
平面
.
(2)平面
,四边形
为平行四边形,
点,
分别为
,
的中点,
,
,
.
,
,解得
,
如图,以为原点,在平面
内过
作
的垂线为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,
,4,
,
,3,
,
则,取
,得
,
平面的一个法向量
,
设二面角的平面角为
,
则.
二面角
的平面角的余弦值为
.
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