题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,如果方程
有两个不等实根
,求实数t的取值范围,并证明
.
【答案】(1)当时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
;当
时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
;(2)
,证明见解析.
【解析】
(1)求出,对
分类讨论,分别求出
的解,即可得出结论;
(2)由(1)得出有两解时
的范围,以及
关系,将
,等价转化为证明
,不妨设
,令
,则
,即证
,构造函数
,只要证明对于任意
恒成立即可.
(1)的定义域为R,且
.
由,得
;由
,得
.
故当时,函数
的单调递增区间是
,
单调递减区间是;
当时,函数
的单调递增区间是
,
单调递减区间是.
(2)由(1)知当时,
,且
.
当时,
;当
时,
.
当
时,直线
与
的图像有两个交点,
实数t的取值范围是
.
方程
有两个不等实根
,
,
,
,
,
,即
.
要证,只需证
,
即证,不妨设
.
令,则
,
则要证,即证
.
令,则
.
令,则
,
在
上单调递增,
.
,
在
上单调递增,
,即
成立,
即成立.
.
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