题目内容
【题目】已知点在椭圆
:
上,
是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)椭圆C上不与点重合的两点
,
关于原点O对称,直线
,
分别交
轴于
,
两点.求证:以
为直径的圆被直线
截得的弦长是定值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)依题意,得到,利用定义得到
,即可求解椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设,
,根据直线方程,求解
的坐标,可得
,利用
,求得
的值,即可得到弦长为定值.
试题解析:
(Ⅰ)依题意,椭圆的另一个焦点为,且
.
因为,
所以,
,
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)证明:由题意可知,
两点与点
不重合.
因为,
两点关于原点对称,
所以设,
,
.
设以为直径的圆与直线
交于
两点,
所以.
直线:
.
当时,
,所以
.
直线:
.
当时,
,所以
.
所以,
,
因为,所以
,
所以.
因为,即
,
,
所以,所以
.
所以,
, 所以
.
所以以为直径的圆被直线
截得的弦长是定值
.
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