Question

设f(x)=a-

2

2x+1

，其中a为常数；
（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；
（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
∴2a=

2

2-x+1

+

2

2x+1

=

2•2x

1+2x

+

2

2x+1

=2，
∴a=1；
（2）f（x）+a＞0恒成立，即a-

2

2x+1

+a＞0，2a＞

2

2x+1

恒成立，等价于2a＞（

2

2x+1

）_max，
而2^x＞0，2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
故2a≥2，解得a≥1，
故实数a的取值范围[1，+∞）．