题目内容

7.化简、求值:
(I)sin140°($\sqrt{3}$-tan10°);
(II)已知α、β都是锐角,tanα=$\frac{1}{7}$,sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,求sin(α+2β)的值.

分析 (I)把$\sqrt{3}$转化成tan60°,进而切化弦,整理化简.
(II)先分别求得sinα,cosα和cosβ的值,进而利用两角和公式求得sin(α+β)的值,最后利用sin(α+2β)=sin(α+β+β)求得答案.

解答 解:(I)原式=sin40°($\frac{sin60°}{cos60°}$-$\frac{sin10°}{cos10°}$)=sin40°•$\frac{sin50°}{\frac{1}{2}cos10°}$=$\frac{sin40°•cos40°}{\frac{1}{2}•cos10°}$=$\frac{sin80°}{cos10°}$=1.
(II)依题意可知sinα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$,cosα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$,cosβ=$\frac{3}{10}$,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{7}{5\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{5}}{50}$,
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$×$\frac{3}{10}$-$\frac{1}{5\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{21\sqrt{2}-\sqrt{5}}{50}$,
∴sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ=$\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{5}}{50}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{21\sqrt{2}-\sqrt{5}}{50}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{4\sqrt{2}+63\sqrt{5}}{500}$.

点评 本题主要考查了两角和公式的运用,诱导公式的化简求值,同角三角函数的应用.综合考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用.

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