Question

16．已知函数f（x）=ax²-（b-1）x+1，其中a∈（-2，0），b∈R．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）+f（-x）+3x＞0；
（2）若函数f（x）在区间（-2，-1）内恰有一个零点，求a-b的取值范围；
（3）设b＞1，当函数f（x）的定义域为[$\frac{1}{a}，-\frac{1}{a}$]时，值域为[$\frac{3}{2a}$，-3a]，求a，b．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，不等式可化为-2x²+3x+2＞0，从而解得；
（2）由a∈（-2，0），b∈R知△=（b-1）²-4a＞0，从而可得f（-2）f（-1）＜0，即（4a+2b-1）（a+b）＜0，再设m=a-b，b=a-m，从而由线性规划可得0＜-m$＜\frac{13}{2}$，从而解得；
（3）函数f（x）=ax²-（b-1）x+1的对称轴x=$\frac{b-1}{2a}$＜0，且开口向下，从而讨论以确定函数的最值，从而代入求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax²-（b-1）x+1，
∴f（-x）=ax²+（b-1）x+1，
（1）当a=-1时，
∵f（x）+f（-x）+3x＞0；
∴-2x²+3x+2＞0，
即2x²-3x-2＜0，
解得，$-\frac{1}{2}$＜x＜2；
（2）∵a∈（-2，0），b∈R．
∴△=（b-1）²-4a＞0，
∴函数f（x）=ax²-（b-1）x+1的图象与x轴有2个交点，
∵函数f（x）在区间（-2，-1）内恰有一个零点，
∴f（-2）f（-1）＜0，
即（4a+2b-1）（a+b）＜0，
设m=a-b，b=a-m，

由图象可得：过（0，0）的直线的截距为0，
过（-2，$\frac{9}{2}$）的直线的截距为$\frac{13}{2}$，
∴0＜-m$＜\frac{13}{2}$，
即-$\frac{13}{2}$＜m＜0，
故a-b的范围为（-$\frac{13}{2}$，0）；
（3）∵函数f（x）=ax²-（b-1）x+1，
∴对称轴x=$\frac{b-1}{2a}$＜0，
当1＜b＜3时，$\frac{2}{2a}$＜$\frac{b-1}{2a}$，
∴f（$\frac{b-1}{2a}$）=-3a，f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2a}$，
即（b-1）²-4a+12a²=0，a+b=$\frac{3}{2}$；
解得，a=-$\frac{1}{2}$，b=2；
当b≥3时，$\frac{b-1}{2a}$$＜\frac{2}{2a}$，
∴f（$\frac{1}{a}$）=-3a，f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2a}$，
即2-b+a+3a²=0，a+b=$\frac{3}{2}$；
无解；
综上所述，a=-$\frac{1}{2}$，b=2．

点评 本题考查了函数的综合应用及线性规划的应用，同时考查了二次函数的性质与应用，属于中档题．