题目内容

13.已知正四棱柱底面边长为1高为2,俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积不可能等于(  )
A.2B.2.5C.2$\sqrt{3}$-1D.2$\sqrt{2}$+1

分析 根据正四棱柱的正视图的边长变化,求出正视图的面积的取值范围即可判断.

解答 解:∵正四棱柱的俯视图是一个面积为1的正方形,
∴正方形的边长为1,正方形的对角线长为$\sqrt{2}$,
∵棱柱的高为2,
∴当正方形的边长作为正视图的底面边长时,此时面积的最小值为S=2×1=2,
当正方形的对角线作为正视图的底面边长时,此时面积的最大值为S=2×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$,
∴正四棱的正视图的面积S的取值范围是[2,2$\sqrt{2}$].
∵2$\sqrt{2}$+1∉[2,2$\sqrt{2}$],
∴D不成立,
故选:D.

点评 本题主要考查正四棱柱正视图的取值范围,根据不同的视角,得到正视图对应矩形的面积的最大值和最小值是解决本题的关键,利用函数的角度研究面积的取值范围是解决本题的突破点.

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