题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
为正方形,点
为线段
上的点,过
三点的平面与
交于点
.将①
,②
,③
中的两个补充到已知条件中,解答下列问题:
(1)求平面将四棱锥分成两部分的体积比;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
若补充②③根据已知可得平面
,从而有
,结合
,可得
平面
,故有
,而
,得到
,②③成立与①②相同,
①③成立,可得,所以任意补充两个条件,结果都一样,以①②作为条件分析;
(1)设,可得
,进而求出梯形
的面积,可求出
,即可求出结论;
(2),以
为坐标原点,建立空间坐标系,求出
坐标,由(1)得
为平面
的法向量,根据空间向量的线面角公式即可求解.
第一种情况:若将①,②
作为已知条件,解答如下:
(1)设平面为平面
.
∵,∴
平面
,而平面
平面
,
∴,又
为
中点.
设,则
.
在三角形中,
,
由知
平面
,
∴,
∴梯形的面积
,
,
,
平面
,
,
,
∴,
故,
.
(2)如图,分别以所在直线为
轴建立空间直角坐标系,
设,则
,
由(1)得为平面
的一个法向量,
因为,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
第二种情况:若将①,③
作为已知条件,
则由知
平面
,
,
又,所以
平面
,
,
又,故
为
中点,即
,解答如上不变.
第三种情况:若将②,③
作为已知条件,
由及第二种情况知
,又
,
易知,解答仍如上不变.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地区为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系,对700棵高粱进行抽样调查,得到高度频数分布表如下:
表1:红粒高粱频数分布表
农作物高度( | ||||||
频数 | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:白粒高粱频数分布表
农作物高度( | ||||||
频数 | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)估计这700棵高粱中红粒高粱的棵数;画出这700棵高粱中红粒高粱的频率分布直方图;
(2)①估计这700棵高粱中高粱高(cm)在的概率;②在红粒高粱中,从高度(单位:cm)在
中任选3棵,设
表示所选3棵中高(单位:cm)在
的棵数,求
的分布列和数学期望.