Question

【题目】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．

（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；

（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到，问题得证；

（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.

（1）因为平面，所以，

又因为，，，所以，

因此，所以，

因此平面，所以，

从而，又四边形为平行四边形，

则四边形为矩形；

（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，

平面的法向量，设平面的法向量，

由，

由，

令，即，

所以，，

所以，所求二面角的余弦值是.