Question

15．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{|x|}$．
（1）求证：函数y=f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（2）若f（x）＜-2x在（-∞，0）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）x∈（-∞，0）上时，f（x）=a+$\frac{1}{x}$，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，可得函数y=f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（2）由f（x）＜-2x在（-∞，0）上恒成立，得a＜-$\frac{1}{x}$-2x，记g（x）=-$\frac{1}{x}$-2x，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，g（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上是减函数，（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）上是增函数，由此能求出a的范围．
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m两种情况分别讨论实数a的取值范围．

解答 （1）证明：∵x∈（-∞，0）上时，f（x）=a+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴y=f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（2）解：若f（x）＜-2x在（-∞，0）上恒成立，
得a＜-$\frac{1}{x}$-2x
记g（x）=-$\frac{1}{x}$-2x，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2
∴g（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上是减函数，（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）上是增函数，
得g（x）≥g（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
∴a＜2$\sqrt{2}$．
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，解得：a＞2
ⅱ） 当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，解得：a=0
综上所述，a的取值范围是{a|a＞2或a=0}．

点评 本题考查函数的单调性的证明，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用，合理地进行等价转化．