Question

3．已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=2，过P（2．-1）作⊙C的切线，切点为A、B．
（1）求直线PA、PB的方程；
（2）求过P点⊙C的切线长；
（3）求∠APB；
（4）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设切线的斜率为k，由直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得可知，可得切线的方程；
（2）设切线长为m，由勾股定理可得m²+2=PC²=10，解方程可得；
（3）由夹角公式可得tan∠APB，可得夹角；
（4）切线和圆的方程可得切点A和B的坐标，可得直线AB的方程．

解答 解：（1）由题意设切线的斜率为k，则切线方程为y+1=k（x-2），
整理为一般式可得kx-y-2k-1=0，
由直线和圆相切可得圆心（1，2）到直线的距离d等于半径$\sqrt{2}$，
由点到直线的距离公式可得$\frac{|k-2-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得k=-1或k=7，即直线PA、PB的方程为x+y-1=0，7x-y-15=0；
（2）设切线长为m，则m²+2=PC²=10，∴m=2$\sqrt{2}$；
（3）由夹角公式可得tan∠APB=|$\frac{-1-7}{1+（-1）•7}$|=$\frac{4}{3}$，
∴∠APB=arctan$\frac{4}{3}$；
（4）联立（x-1）²+（y-2）²=2和x+y-1=0可解得x=0且y=1，即A（0，1），
同理可得B（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$），故直线AB的斜率为$\frac{\frac{9}{5}-1}{\frac{12}{5}-0}$=$\frac{1}{3}$，
∴直线AB的方程为y-1=$\frac{1}{3}$x，即x-3y+3=0

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及直线和圆相切以及直线的夹角公式，属中档题．