如图.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左右焦点分别为F1.F2.离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.它的四个顶点连成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$．过动点P的直线PF1.PF2与椭圆的交点分别为A.B和C.D．(1)求此椭圆的标准方程,(2)是否存在点P.使|AB|=2|CD|.若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，它的四个顶点连成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$．过动点P（不在x轴上）的直线PF₁，PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）是否存在点P，使|AB|=2|CD|，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）直接计算即得结论；
（2）分直线PF₂的斜率存在与不存在两种情况讨论即可；

解答解：解：（1）∵S=2ab=8$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a＞b＞0，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
∴所求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）结论：不存在这样的点P，使得|AB|=2|CD|成立．
理由如下：
若|AB|=2|CD|成立，点P必在y轴的右侧，
故直线PF₁必存在设为k₁，
当直线PF₂的斜率存在时设为k₂，
此时有直线PF₁由y=k₁（x+2）代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
消去y整理得，（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8（k₁²-1）=0
直线PF₁为：y=k₁（x+2），直线PF₂为：y=k₂（x-2），
由韦达定理，得x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8（{k}_{1}^{2}-1）}{1+2{k}_{1}^{2}}$
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}•\sqrt{（\frac{-8{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}）^{2}-4•\frac{8（{k}_{1}^{2}-1）}{1+2{k}_{1}^{2}}}$
=4$\sqrt{2}•\frac{1+{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$
同理可得|CD|=4$\sqrt{2}•\frac{1+{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$
若|AB|=2|CD成立．则有$\frac{1+{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}=2•\frac{1+{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$
整理得：2k₁²k₂²+3k₁²+1=0，
因为此方程无实数解，所以不存在这样的点P，使得|AB|=2|CD|成立．
当直线PF₂的斜率不存在时，|CD|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，
此时|AB|=2|CD|=4$\sqrt{2}$=2a不成立．
综上可得，不存在这样的点P，使得|AB|=2|CD|成立；