Question

7．已知椭圆的中心在原点，左焦点为${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，右顶点为D（2，0），设点A（1，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程
（2）若一过原点的直线与椭圆交于点B，C，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）由左焦点为${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S_△ABC=1；当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．

解答 解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=$\sqrt{3}$，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S_△ABC=1
当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
解得B（$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}，\frac{2k}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$），C（$-\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}，-\frac{2k}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$）
则|BC|=4$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，又点A到直线BC的距离d=$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}|BC|•d=\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$
于是${S}_{△ABC}=\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4k+1}{4{k}^{2}+1}}=\sqrt{1-\frac{4k}{4{k}^{2}+1}}$
要使△ABC面积的最大值，则k＜0
由$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}≥-1$，得S_△ABC$≤\sqrt{2}$，其中，当k=-$\frac{1}{2}$时，等号成立
∴S_△ABC的最大值是$\sqrt{2}$

点评 本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型，利用基本不等式求解．