题目内容

14.一个所有棱长均为$\sqrt{2}$的正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面的中心)的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上,则此球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

分析 求出正四棱锥底面对角线的长,判断底面对角线长,就是球的直径,即可求出球的体积.

解答 解:正三棱锥的边长为$\sqrt{2}$,则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体.
所以正方体的体对角线为外接球的直径.
正方体的边长为1,所以所求球的半径为:r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
所以球的体积为:V=$\frac{4}{3}π(\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}π$.
故答案为:$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题是中档题,考查空间想象能力,注意正三棱锥和正方体的转化,正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点,考查计算能力.

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