题目内容
【题目】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
(单位：千克)与销售价格
(单位：元/千克)满足关系式
，其中
为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品13千克.
（1）求
的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）6（2）x=4,46
【解析】
（1）由f（5）＝13代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
解：（1）因为x＝5时，y＝13，所以
10＝13，故a＝6，
（2）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：
x | （3，4） | 4 | （4，6） |
f'（x） | + | 0 | ﹣ |
f（x） | 单调递增 | 极大值46 | 单调递减 |
由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于46
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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