Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求证：M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设交点为，连接，因为线面平行，即平面,根据性质定理，可知线线平行，即，再由为的中点，可知为的中点；（Ⅱ）因为平面平面， ，所以取的中点为原点建立空间直角坐标系，根据向量法先求两平面的法向量， ，再根据公式，求二面角的大小；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，直接求即可.

试题解析：解：（I）设交点为，连接.

因为平面，平面平面，所以.

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接， .

因为，所以.

又因为平面平面，且平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为是正方形，所以.

如图建立空间直角坐标系，则， ， ，

， .

设平面的法向量为，则，即.

令，则， .于是.

平面的法向量为，所以.

由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知， ， .

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.