Question

【题目】定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0，

令x=y=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，

∴f（﹣1）=0

（2）解：令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），

∴f（﹣x）=f（x）

∴f（x）是偶函数

（3）解：由式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0得式f（x+1）≤f（2﹣x），

由（2）函数是偶函数，

则不等式等价为f（|x+1|）≤f（|2﹣x|），

∵x≥0时f（x）为增函数，

∴不等式等价为|x+1|≤|2﹣x|，

平方得x2+2x+1≤x2﹣4x+4，

即6x≤3，即x≤ ，

即满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合为（﹣∞， ]

【解析】（1）利用赋值法即可求f（1）、f（﹣1）的值；（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．