题目内容
【题目】已知椭圆
的两焦点在
轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为
的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线
交椭圆
于
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得以线段
为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）
； （2）线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1).
【解析】
(1)根据椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，以及斜边长为
，可求出
，进而可求出椭圆方程；
(2)先由直线
可得求过定点
；根据
与
轴平行时或与
轴平行时，先求出定点
，再由证明即可.
(1)
椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，
.
又斜边长为，即
，故，
，
椭圆方程为.
(2)由题意可知该动直线过定点,
当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为
；
当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为
.
由
得
，
故若存在定点，则的坐标只可能为
.
下面证明为所求：
若直线的斜率不存在，上述已经证明.
若直线的斜率存在，设直线：
，
，
，
由
得
，
，
，
，
，
，
=
，
，即以线段AB为直径的圆恒过点.
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