题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,,平分,平面,,点在上,.
(1)求证:平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析.
(2).
【解析】
(1)先根据平面得,再根据已知,得平面,即得,另一方面根据计算得,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据题意建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面的一个法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系求结果.
(1)证明:因为平面,所以,
又因为,,所以平面
所以
作交于点,则平面,
在中,,,设
则
易证
因为,则
所以,即,
所以平面.
(2)如图所示,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴正方向,建立空间直角坐标系
因为垂直平分,所以为直角三角形的斜边上的中线
所以
因为,,由,得
,
设平面的一个法向量为,
则即得,取,则,
由(1)可知为平面的一个法向量,
所以
由图可知,所求二面角为锐角
所以所求二面角的余弦值为.
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