题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,平分平面,点上,.

(1)求证:平面

(2)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析.

(2).

【解析】

(1)先根据平面再根据已知平面,即得,另一方面根据计算得,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据题意建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面的一个法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系求结果.

(1)证明:因为平面所以

又因为所以平面

所以

于点,则平面

中,,设

易证

因为,则

所以,即

所以平面.

(2)如图所示,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴正方向,建立空间直角坐标系

因为垂直平分,所以为直角三角形的斜边上的中线

所以

因为,由,得

设平面的一个法向量为

,取,则

由(1)可知为平面的一个法向量,

所以

由图可知,所求二面角为锐角

所以所求二面角的余弦值为.

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