题目内容
【题目】数学研究性学习是高中学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动．某同学就在一次数学研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，归纳出一个三角恒等式；
（3）利用所学知识证明这个结论．
【答案】（1）
；（2）
；（3）证明见解析．
【解析】
(1）选择（2）求常数相对容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系结合特殊角三角函数值求得答案．
（2）根据（1）的计算结果，可得三角恒等式为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）
.
（3）根据两角差的余弦公式，展开化简后可得答案．
（1）由②得sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°＝1
sin 30°＝1
（2）三角恒为等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α），；
（3）证明如下：
sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）
＝sin2α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）2﹣sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）
＝sin2α
cos2α
sin αcos α
sin2α
sin αcos αsin2α
sin2αcos2α.
【题目】孝感市旅游局为了了解双峰山景点在大众中的熟知度，从年龄在15～65岁的人群中随机抽取n人进行问卷调查，把这n人按年龄分成5组：第一组[15,25)，第二组[25,35)，第三组[35,45)，第四组[45,55)，第五组[55,65]，得到的样本的频率分布直方图如右：
调查问题是“双峰山国家森林公园是几A级旅游景点？”每组中回答正确的人数及回答正确的人数占本组的频率的统计结果如下表.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 5 | 0.5 |
第2组 | [25,35) | 18 | x |
第3组 | [35,45) | y | 0.9 |
第4组 | [45,55) | 9 | a |
第5组 | [55,65] | 7 | b |
(1)分别求出n，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的两人来自不同年龄组的概率．
