Question

【题目】已知函数，若存在唯一的零点，且，且的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】(i)当 时， ，令 ，解得 ，函数 有两个零点，舍去． (ii)当 时， ，令 ，解得 或 ．①当 时， ，当 或x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增．∴ 是函数的极小值点， 是函数的极大值点．∵函数 存在唯一的零点 ，且 ，则： ，即： ，可得 ．

②当 时， ，当 或 时， ，此时函数 单调递增；当 时，f′(x)<0，此时函数单调递减．∴ 是函数的极小值点， 是函数的极大值点．不满足函数 存在唯一的零点 ，且 ，综上可得：实数 的取值范围是 ．故选：C．

点睛: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力.本题的解答方法是： (i)当时， ，令 ，解得，两个解，舍去． (ii)当 时， ，令 ，解得或．对 分类讨论：①当 时，由题意可得；②当时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．