题目内容
【题目】己知椭圆C：
的左右焦点分别为
，
，直线l：
与椭圆C交于A，B两点
为坐标原点．
若直线l过点，且
十
，求直线l的方程；
若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足
，求点P的轨迹方程．
【答案】(1) 
或
；（2）
(
)．
【解析】
（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立
整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根据弦长公式|AB|=
，代入整理得
，解得
．得到直线l的方程．
（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立
整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.结合韦达定理及条件
，整理得3m2=8k2+8．从而有 |OP|2=
（定值），得到点P的轨迹是圆，且去掉圆与x轴的交点.写出点P的轨迹方程即可.
（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8
，则|AB|=．
因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．
∴ x1+x2=
，x1x2=
． 由弦长公式|AB|=
，
代入整理得，解得
．所以直线l的方程为
，
即
或．
（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
∴ x1+x2=
，x1x2=
． 以AB为直径的圆过原点O，即．
∴ 
x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2=，x1x2=代入，
整理得3m2=8k2+8． ∵ 点P是线段AB上的点，满足
，
设点O到直线AB的距离为d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=
（定值），
∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，
为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点.
故点P的轨迹方程为()．
【题目】某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生
人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次 | 第二批次 | 第三批次 | |
女 |
|
|
|
男 |
|
|
|
已知在这名学生中随机抽取
名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是
.
（1）求
的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取
名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
