题目内容
【题目】定义在(0,+∞)上的函数f(x)=a(x+ )﹣|x﹣
|(a∈R).
(1)当a= 时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥ x对任意的x>0恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a= 时,f(x)=
,
当x≥1时,f(x)= ﹣
的导数为f′(x)=﹣
﹣
<0;
当0<x<1时,f(x)= ﹣
的导数为f′(x)=
+
>0;
所以f(x)的单调递增区间是(0,1],单调递减区间是[1,+∞).
(2)解:由f(x)≥ x得a(x+
)﹣|x﹣
|≥
x,x>0,
可得a(x2+1)﹣|x2﹣1|≥ x2,
①当0<x<1时,a(x2+1)+(x2﹣1)≥ x2,
即有a≥ ,
由 =
﹣
∈(
,1)
可得a≥1;
②当x≥1时,a(x2+1)﹣(x2﹣1)≥ x2,
可得a≥
由 =
﹣
∈[
,
)
可得a≥ .
综上所述,a的取值范围是[ ,+∞).
【解析】(1)求出a= 时,讨论当x≥1时,当0<x<1时,去掉绝对值,求得导数,判断符号,即可得到所求单调区间;(2)由f(x)≥
x可得a(x2+1)﹣|x2﹣1|≥
x2 , 讨论当0<x<1时,当x≥1时,运用参数分离和函数的单调性可得最值,进而得到a的范围.
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