题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，已知
平面
，且四边形
为直角梯形， 
， 
， 
，点
， 
分别是
， 
的中点．
（I）求证： 
平面
；
（Ⅱ）点
是线段
上的动点，当直线
与
所成角最小时，求线段
的长．
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 
【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接
， 
，由三角形中位线定理可得
// 
，从而可证明四边形
为平行四边形，可得
// 
，利用线面平行的判定定理可得结果；(Ⅱ以
为坐标原点， 
为坐标轴建立空间坐标系，设
， 
，利用空间向量夹角余弦公式可得
，利用换元法，结合二次函数配方法，求得
时直线
与
所成角取得最小值，此时
.
试题解析：(Ⅰ) 证明：连接
， 
，因为点
， 
分别是
， 
的中点，所以
， 
// 
，
所以
// 
， 
，所以四边形
为平行四边形，所以
// 
.又因为
平面
， 
平面
，所以
//平面
．
(Ⅱ) 解：如图，以
为坐标原点建立空间坐标系
，则
， 
， 
， 
， 
． 所以
， 
，设
， 
，
又
，所以
.设
， 则
， 
， 所以
， 
，当且仅当
，即
时， 
取得最大值， 即直线
与
所成角取得最小值，此时
．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、向量法求异面直线所成的角，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
优学名师名题系列答案
【题目】下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小球，从袋中无放回地取球”的游戏规则，这两个游戏规则公平吗？为什么？
游 戏 1 | 游 戏 2 |
2个红球和2个白球 | 3个红球和1个白球 |
取1个球，再取1个球 | 取1个球，再取1个球 |
取出的两个球同色→甲胜 | 取出的两个球同色→甲胜 |
取出的两个球不同色→乙胜 | 取出的两个球不同色→乙胜 |
