Question

【题目】已知f（x）=3x+m3﹣x为奇函数．
（1）求函数g（x）=f（x）﹣ 的零点；
（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，

解得：m=﹣1，

∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣ =0，

令t=3x，则t﹣ ﹣ =0，

即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣ ，

∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，

∴函数g（x）的零点是1；

（2）解：∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，

∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，

∵f（x）在R是奇函数也是增函数，

∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，

即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，

即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，

∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，

∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．

【解析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，从而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函数的零点即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性，问题转化为t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．